La Facultad de Ingeniería llevó a cabo la Ceremonia de Graduación de Posgrado, cuyo invitado de honor fue el Mtro. Manuel Sáenz Castillo (Ing. Ind., gen. ‘80), director general de AMD Latin America LTD, empresa líder en innovación y fabricación de microprocesadores. En su intervención expresó su optimismo de que generaciones futuras perseveren en alcanzar sus metas. El Mtro. Sáenz estudió el MBA en la Universidad de Austin, Texas, donde fue galardonado con el Academia Excellence Award.

Alumnos de Mecatrónica asistieron a las instalaciones de Aeroméxico para realizar una visita académica y fortalecer los vínculos entre la academia y la industria aeronáutica. Esta actividad estuvo coordinada por la Dra. María Elena Sánchez Vergara, coordinadora del Área de la Facultad de Ingeniería.

El Centro de Alta Dirección en Ingeniería y Tecnología (CADIT) participó en el proyecto PIDIREGAS 2007 para la Comisión Federal de Electricidad (CFE), cuyo titular es el Ing. Alfredo Elías Ayub (Ing. Civil, gen. ‘73). La Lic. Cecilia Estrada y el Mtro. Guillermo Híjar Fernández, profesores de la Facultad de Ingeniería, fueron los responsables de presentar los resultados del proyecto.

El Mtro. Guillermo Híjar y el Dr. Viterbo Berberena, profesores de la Facultad de Ingeniería, realizaron un viaje a Raleigh, Carolina del Norte, para visitar las instalaciones de la empresa SAS. Encuentro realizado por el convenio entre la Universidad Anáhuac y dicha empresa internacional especializada en software de Minería de Datos. Entre los logros obtenidos por este convenio se encuentran más de siete ediciones del Diplomado Especialidad Ejecutiva, Talleres de Minería de Datos, en el que han participado, desde 2005, más de 125 alumnos de posgrado, quienes se desarrollan como ejecutivos de diversas instituciones financieras y de servicios del país, como: Infonavit, Bancomer, Banamex, SHCP, Santander, entre otras.

En la segunda parte de esta serie se detalló la aplicación de la trigonometría esférica al cálculo de las longitudes de arcos de circunferencia que limitan a un triángulo esférico. Así mismo, se especificó que esta herramienta matemática resulta de utilidad para determinar la distancia a recorrer sobre la superficie terrestre cuando se viaja desde un origen hasta un destino, puesto que la trayectoria es un arco de circunferencia y no un segmento de recta.

La siguiente figura, así como la lista posterior, ilustran la forma cómo se asignan los diversos puntos de modo que las medidas angulares propias de los arcos de circunferencia queden expresadas en términos de las coordenadas de latitud y longitud correspondientes al origen y al destino.

Sea la siguiente correspondencia de puntos y elementos para la figura anexa:

·         Punto A   origen

·         Punto B   destino

·         Punto C   polo norte (ó polo sur, según el caso).

·         Punto O   centro de la Tierra

·         Punto P   cruce del meridiano local del origen (prolongando el arco AC) con el ecuador.

·         Punto Q   cruce del meridiano local del destino (prolongando el arco BC) con el ecuador.

La trayectoria entre el origen y el destino, descrita por el arco de circunferencia AB, se denomina como geodésica por ser aquella con la menor distancia de recorrido posible sobre la superficie de una esfera.  Con todo lo anterior se tiene que el triángulo esférico sobre la superficie terrestre queda definido por tres círculos máximos; esto es, aquellos cuyo centro coincide con el centro de la tierra en el punto O.  El ecuador también es un círculo máximo.

En este punto conviene recordar el significado de las medidas geográficas latitud y longitud asociadas a alguna ubicación en particular sobre la superficie terrestre:

Latitud de una ubicación:            Ángulo medido desde el ecuador hasta dicha ubicación sobre su meridiano local.  Su valor queda comprendido entre 0° y 90° norte ó 0° y 90° sur.  Para los efectos de la trigonometría esférica, se asocia un signo positivo a la latitud norte y un signo negativo a la latitud sur.

Longitud de una ubicación:         Ángulo medido sobre el ecuador desde un meridiano de referencia (Meridiano de Greenwich, Inglaterra, cuya longitud se establece como 0°) hasta el meridiano local de dicha ubicación.  Su valor puede estar entre 0° y 180° este ó 0° y 180° oeste.  Para los efectos de la trigonometría esférica, se asocia un signo positivo a la longitud este y un signo negativo a la longitud oeste.

Por consiguiente, los ángulos medidos sobre dichos meridianos locales quedan en función de las latitudes respectivas de dichos origen y destino como sigue.  Para este caso ejemplo se considera que el polo elegido es el norte.  Sean los valores como se define a continuación:

LAT - A:    Latitud del origen                                          LNG - A:   Longitud del origen

LAT - B:    Latitud del destino                                         LNG - B:   Longitud del destino

Entonces:

El arco a corresponde al ángulo plano central ÐBOC y se define como la colatitud (distancia angular hasta el polo) del destino.  Pero, el ángulo ÐQOC es recto, por lo cual el arco designado como y, dado por el ángulo plano central ÐQOB, es la latitud (distancia angular desde el ecuador) del destino.  Expresado en términos matemáticos:

·         El arco b corresponde al ángulo plano central ÐAOC y representa la colatitud del origen.  En forma semejante, se sabe que el ángulo ÐPOC también es recto, por lo que el arco marcado como x, dado por el ángulo plano central ÐPOA, es la latitud del origen.  En forma matemática, se tiene que:

·         En el vértice C se ubica el ángulo diedro formado por los planos COA y COB.  Obsérvese que este mismo ángulo diedro también puede ser descrito por el ángulo plano ÐPOQ sobre el plano del ecuador y corresponde a la diferencia entre las longitudes geográficas del origen y del destino.  Matemáticamente, se escribe:

·         El arco c corresponde al ángulo plano central ÐAOB y representa la distancia a determinar sobre la trayectoria geodésica.  En la edición anterior del ¡Checa Esto! se estableció que:

Al sustituir las equivalencias antes detalladas en esta última ecuación, se encuentra la distancia angular entre el origen y el destino en función de las coordenadas geográficas respectivas, ya definidas:

Empero, este no es el final del procedimiento pues el resultado de la operación anterior queda expresado en forma angular con unidades de grados de arco.  Falta todavía realizar la conversión necesaria para conocer la distancia en kilómetros.

Se define a la unidad de longitud conocida como milla náutica (se abrevia como NM por su nombre en inglés nautical mile) como aquella que equivale exactamente a 1.852000 kilómetros y corresponde casi exactamente a un minuto de arco (1/60 de grado) de la superficie terrestre (nota pie NM)[NM].  Considerando que el valor aproximado de 40 mil kilómetros para circunferencia terrestre se relaciona con un arco de 360° (la vuelta completa); es decir, 360 ´ 60 = 21,600 minutos de arco, se llega a una equivalencia aproximada (con muy poco error) de 40,000 ¸ 21,600 = 400 ¸ 216 = 1.85185 kilómetros por cada milla náutica[CIRC].

Con base en lo anterior se deduce que, a partir del valor calculado previamente para el arco c, en grados, se obtienen:

d [NM] = 60 × c;                d [km] = (400 / 216) ´ d [NM]

El siguiente ejemplo numérico, tomado para el caso de la ruta México – Ámsterdam, permite ilustrar claramente este procedimiento.  La tabla anexa lista las coordenadas geográficas respectivas:

Localidad	Código IATA	Latitud	Longitud
México (origen)[MEX]	MEX	19° 26’ 11” N º +19.4363889°	99° 04’ 20” W º –99.0722222°
Ámsterdam (destino)[AMS]	AMS	52° 18’ 31” N º +52.3086111°	04° 45’ 50” E º +04.7638889°

Aplicando estos valores a la ecuación se obtiene la longitud angular del arco c:

Es decir, la ruta desde la Ciudad de México hasta Ámsterdam abarca casi un cuarto de vuelta al globo terráqueo.  La distancia, tanto en millas náuticas como en kilómetros, es:

En la primera parte de esta serie se hubo determinado un tiempo de vuelo igual a 10.91667 horas.  De esto y la distancia recién calculada se concluye con la velocidad promedio de vuelo para esta ruta:

Para los propósitos de comparación, en la siguiente página se anexa la información generada por un sitio de Internet especializado en el trazo de las rutas aéreas sobre el mapa-mundi.  La cifra de 9,220 kilómetros reportada para la distancia coincide razonablemente con la previamente calculada de 9,199.345 kilómetros.  Lo mismo sucede con los tiempos: 11 horas con 04 minutos reportados contra 10 horas con 55 minutos de acuerdo con los cálculos.

Las líneas aéreas, en general, así como los fabricantes de aviones a reacción, suelen enfatizar que en esta “Era de los Jets” los aparatos más modernos fácilmente mantienen velocidades de crucero entre 950 y 1000 kilómetros por hora.  Nadie duda que esto sea posible pero, en la práctica cotidiana, se evita operar dentro de dicho rango de velocidades porque la mayor turbulencia del aire sobre el fuselaje y las alas del avión en vuelo ocasiona un gasto de combustible más que proporcional.

De hecho, a medida que un avión a reacción se aproxima a la velocidad del sonido (1,066 km/h a una altitud de vuelo de aproximadamente 11,000 metros sobre el nivel medio del mar)[MACH], la incipiente aparición de ondas de choque conlleva un efecto de arrastre que se torna objetable y eleva significativamente el gasto energético.  El ahorro en tiempo de vuelo por “forzar” la velocidad del avión de ninguna manera compensa esta ineficiencia, así como el maltrato a la nave.  Usualmente se recomienda no pasar de Mach 0.85 (906 km/h) en régimen sostenido y con Mach 0.90 (959 km/h) durante lapsos muy breves para no someter la estructura de la nave a esfuerzos excesivos y para no acabarse el combustible antes del arribo al destino.

Por todo lo explicado, las líneas aérea comerciales prefieren llevársela “tranquila”.  Normalmente operan a estas máquinas en velocidades promedio de vuelo crucero dentro de un rango entre 750 y 850 kilómetros por hora.  Las velocidades mayores sólo se ocupan esporádicamente cuando se requiere recuperar el tiempo perdido por demoras en las operaciones del segmento terrestre.

Personalmente he tenido la oportunidad de comprobar esto una y otra vez, no obstante haberse tratado de rutas muy diversas, a localidades diferentes en todo el rango de distancias y duraciones de vuelos.

Así que cuando tengan necesidad de realizar un viaje muy largo en avión, de esos que lo dejan a uno casi como hoja de papel (blanco y arrugado) sobre el asiento, mejor relájense, reclinen su respaldo, pónganse “flojitos” y disfruten su vuelo. Fin

Great Circle Mapper

 

http://gc.kls2.com/

 

 

From   To   Initial Heading   Distance   Time   MEX (19°26'11"N 99°04'20"W) AMS (52°18'31"N 04°45'50"E) 36°  (NE) 9220 km 11:04

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Code		Source		Location
MEX		DAFIF		Ciudad de México (México City) [Benito Juárez Intl], DF, MX
AMS		DAFIF		Amsterdam [Schiphol], NL

 

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[NM]:             http://en.wikipedia.org/wiki/Nautical_Mile

[CIRC]:          http://en.wikipedia.org/wiki/Earth ; Por causa del achatamiento terrestre en los polos, la circunferencia terrestre no tiene un valor único.  La circunferencia meridional, que pasa por ambos polos es de 40,007.86 km.  Sobre el ecuador el valor es 40,075.02 km.  De lo anterior resulta un valor medio de 40,041.47 km.  Tomando estas medidas y considerando 21,600 minutos de arco en una circunferencia resultan las siguientes equivalencias para la milla náutica: 1.8522157 km (polar - por cada minuto de latitud), 1.855325 km (ecuatorial - por cada minuto de longitud) y 1.853772 km (valor medio).  Lo anterior fue motivo de polémica durante 200 años hasta que, en 1929, la Conferencia Hidrográfica Internacional Extraordinaria en Mónaco adoptó el valor exacto de 1.852000 km, por definición, para cada milla náutica.

[MEX]:           http://en.wikipedia.org/wiki/Mexico_City_International_Airport

[AMS]:           http://en.wikipedia.org/wiki/Schiphol

[MACH]:         La velocidad del sonido en el aire depende tanto de la temperatura como de la composición molecular del aire y se determina por medio de la ecuación:

, donde g = 1.4, corresponde a la razón entre los calores específicos a presión constante y a volumen constante para un gas diatómico, R = 8,314.472 ¸ 28.957 = 287.132 [J / kg ´K] es la constante gaseosa del aire y T es la temperatura termodinámica.  A una altitud de 11,000 metros (aproximadamente 36,000 pies) la temperatura exterior es de aproximadamente 55 °C bajo cero, es decir, 218 kelvin.  Numéricamente esta operación entrega un valor de 296.03 metros por segundo.  Multiplicando por 3.6 para convertir a kilómetros por hora se llega a una cifra de 1,065.70.